К тетрарху дело посылали?

[regent_unchained]

К одной дискуссии в комментариях

Вообще говоря, это не обязательно — ограничивать себя одномерным движением, и то доказательство, которое я дал выше (с парой световых часов) является строгим и исчерпывающим. Оно должно было бы удовлетворить даже школьника, но с минимальной волей к пониманию, а не к непониманию.

Конечно, вывод формулы релятивистского замедления времени для одномерного движения есть. Было бы странно, если бы его не было, потому что самый элегантный и простой вывод общего преобразования Лоренца, который мне известен, тоже проделывается для одномерного движения. Но его я изложу отдельно, а здесь представлю то, что вы хотели. Я постарался дать вывод со всеми деталями, чтобы нельзя было не понять.

Представим себе "световые часы" с двумя зеркалами, которые движутся со скоростью v вдоль оси х относительно системы отсчёта К. Скорость параллельна оси часов. Систему отсчёта, связанную с часами, обозначим К'. Формула релятивистского замедления времени выводится путём сравнения значений периода часов в двух этих системах. Период часов — это время, за которое свет проходит путь от одного зеркала до другого и обратно. Собственная длина часов (то есть их длина в системе К') обозначается l₀. Длину часов (которую ещё нужно найти) в системе К обозначим l. Период часов в системе К' есть T₀ = 2l₀/c. Подсчитаем период часов в системе К.

Пусть в системе К импульс света (или фронт волны) излучается первым зеркалом в момент времени t = 0 и достигает второго зеркала в некоторый момент времени t₁. Поскольку за это время часы сдвинутся на расстояние vt₁, то полное расстояние, пройденное светом в системе К за время t₁, равно l + vt₁. С другой стороны, из постулата об инвариантности скорости света следует, что за время t₁ свет проходит в системе К расстояние сt₁. Отсюда мы получаем уравнение

l + vt₁ = сt₁,
которое даёт нам время прохождения света по направлению движения от одного зеркала до другого t₁ = l/(c — v). Такой же расчёт с изменением знака скорости даёт время t₂ для пути "обратно": t₂ = l/(c + v). Полный период часов Т в системе отсчёта К — это сумма времён движения света туда и обратно:

T = t₁ + t₂ = 2lc/(c² — v²).
Таким образом отношение периодов будет

T/T₀ = (l/l₀)/(1 — v²/c²).
Осталось найти отношение l/l₀. Оно вычисляется для одномерного движения, например, как в этой статье.

Пусть стержень 1 с собственной длиной l_1,0 покоится в системе К, а параллельный ему стержень 2 с собственной длиной l_2,0 (в его системе отсчёта K') движется вправо со скоростью v вдоль оси х относительно стержня 1 (системы отсчёта К). Длину стержня 2 в системе К обозначим l₂, и, соответственно, длину стержня 1 в системе К' обозначим l₁.

В момент времени t = 0 положения левых точек стержней относительно оси х совпадают с началом координат х = 0. В тот же момент в точке х = 0 излучается импульс света. Выберем собственную длину второго стержня так, чтобы координаты правых концов стержней совпали в тот момент t, когда свет достигает точки х = l_1,0.

Это значит, что, с одной стороны l_1,0 = l₂ + vt, а с другой стороны, l_1,0 = ct. Исключая время t из этой системы уравнений, находим, что l₂/l_1,0 = 1 — v/c.

Если рассмотреть тот же самый процесс с теми же стержнями в системе К', условия совпадения концов стержней друг с другом и с импульсом света не нарушаются, потому что каждое из этих двух совпадений — это точечное событие. Если событие имело место в одной системе, оно будет и в другой. Тогда такой же расчёт даёт нам l₁/l_2,0 = 1 + v/c (то есть стержни меняются ролями, и изменяется направление скорости).

Перемножим левые и правые части двух последних формул и получаем:

(l₁/l_1,0)(l₂/l_2,0) = 1 — v²/c².
Отношение l/l₀ при заданной скорости v — величина универсальная, не зависящая от длины стержня. Следовательно, для любого стержня:

l/l₀ = (1 — v²/c²)^1/2.
Как видите, лоренцево сокращение длины выводится без использования релятивистского преобразования времени.
Подставляем это отношение l/l₀ в формулу отношения периодов и получаем то, что требовалось доказать:

T/T₀ = 1/(1 — v²/c²)^1/2.
Комментарии уже последовали, как и ожидалось.

Это иллюстрация одной известной истины: доказательство не имеет директивной силы. Другими словами, ничего невозможно доказать тому, кто не хочет принимать доказательств.

Comments

[procurator0.livejournal.com]

Регент огромное Вам спасибо за потраченное время. Разумеется ключевой формулой в преобразованиях является

"Следовательно, в момент времени t1 оно будет находиться на расстоянии (l+vt1) от начала координат"

вот эта прибавка vt1. Теперь мне все ясно, еще раз благодарю за то что помогли разобраться.

[regent.livejournal.com]

OK